Ασυνέχεια συνάρτησης και παράγωγος

Όταν μια συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια σε ένα σημείο, τότε ως παραγωγός της στο σημείο αυτό θα μπαίνει η δ(t) και μάλιστα πολλαπλασιασμένη με τον κατάλληλο αριθμό κάθε φορά.
Στην παρακάτω εικόνα απεικονίζεται η συνάρτηση:

και στην συνέχεια η παράγωγός της:

Orthogonality of Sines and Cosines

here

απόδειξη

ισχύει το παρακάτω:

οπότε:

διότι:
για τ > t όρισμα αρνητικό άρα η u μηδενίζεται
για τ <> όρισμα θετικό άρα η u ισούται με την μονάδα

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

applet

Ορθοκανονικές Συναρτήσεις

παράδειγμα

Εσωτερικό γινόμενο

εδώ

Αιτιατή συνάρτηση (causal)

Ολίσθηση στην συχνότητα

Εάν

τότε


παρατηρήσεις:
Μπορεί να μας δώσουν ένα σήμα y(t) που περιέχει ένα σήμα x(t) με εκθετικό μπροστά.
Να βρω το Μετασχηματισμό Fourier του y(t) είναι πολύ εύκολο
αρκεί να ακολουθήσω την ιδιότητα της ολίσθησης στην συχνότητα.
Έτσι,
αρχικά θα βρω τον Μετασχηματισμό Fourier του x(t) και στην συνέχεια
θα το ολισθήσω κατά Ω0, όσο δηλαδή μου λέει το εκθετικό!

Χρονική ολίσθηση

Εάν

τότε

Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα

Θέλω να δω αν το σύστημα που η έξοδος του περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση είναι γραμμικό ή μη:

Γενικά θα είναι γραμμικό αν η απόκριση στο γραμμικό συνδυασμό δύο εισόδων ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων.
Αρχικά:

οπότε η έξοδος σε αυτό το γραμμικό συνδυασμό των δύο εισόδων είναι:

• 

Τώρα θα ελένξω τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων:

• 

επειδή οι δυο αποκρίσεις διαφέρουν το σύστημα είναι μη γραμμικό!

Χρονικά αμετάβλητα και μεταβαλλόμενα συστήματα

Έχω το παρακάτω σήμα:

Θέλω να εξετάσω αν είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.
Αρχικά παίρνουμε την είσοδο και την μετατοπίζουμε π.χ. κατά 3.Άρα:

οπότε η έξοδος γίνεται:

• 

Μετά κοιτάζω και την έξοδο μετατοπισμένη κατά 3.

• 

Αν τα δύο σήματα με την βούλα διαφέρουν(πράγμα που στο παράδειγμά μας αυτό συμβαίνει), τότε το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.

Τί είναι η συνέλιξη;

Η συνέλιξη είναι το παρακάτω ολοκλήρωμα:

και γράφεται συμβολικά:

γραφική παράσταση πολυωνύμου

εδώ

Ιδιότητα παραγώγησης του Μετασχηματισμού Fourier

Τί είναι σύστημα;

Ως σύστημα έχουμε ορίσει τη διαδικασία που μετατρέπει μια φυσική ποσότητα, που περιγράφεται από το σήμα εισόδου,x(t), σε μια άλλη, που περιγράφεται από το σήμα
εξόδου, y(t)

σήμα εξόδου

έχω το σήμα εισόδου x(t), και γνωρίζω και πως συμπεριφέρεται το σύστημα
όταν ασκήσω πάνω του την κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα.Με την
βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης καιακολουθώντας την γνωστή διαδικασία
προκύπτει το σήμα εξόδου.

προσοχή στο παρακάτω ολοκλήρωμα

Θεώρημα Συνέλιξης

απορία σελ 43 βιβλίου

απάντηση

Γενικά:θα εξετάζω αν μια ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια
ή περιττή ξεκινώντας πάντα από τον ορισμό.
ορισμός άρτιας
ορισμός περιττής
Ισχύουν τα γνωστά, ότι το συνημίτονο είναι μια άρτια συνάρτηση
και το ημίτονο μια περιττή συνάρτηση.
Το ολοκλήρωμα μια περιττής συνάρτησης απο το μειον άπειρο
έως το συν άπειρο είναι 0.

Dirac function

Γραφική παράσταση περιττής συνάρτησης

Ύλη Μαθήματος

από το βιβλίο
κεφ 1, κεφ 2, κεφ 3
κεφ 5 εκτος απο παραγράφους 5.4.4 , 5.5 ,5.7, 5.8(όλο εκτος), 5.9

Ιστοσελίδα Μαθήματος

εδώ