Orthogonality of Sines and Cosines

here

απόδειξη

ισχύει το παρακάτω:

οπότε:

διότι:
για τ > t όρισμα αρνητικό άρα η u μηδενίζεται
για τ <> όρισμα θετικό άρα η u ισούται με την μονάδα

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

applet

Ορθοκανονικές Συναρτήσεις

παράδειγμα

Εσωτερικό γινόμενο

εδώ

Αιτιατή συνάρτηση (causal)

Ολίσθηση στην συχνότητα

Εάν

τότε


παρατηρήσεις:
Μπορεί να μας δώσουν ένα σήμα y(t) που περιέχει ένα σήμα x(t) με εκθετικό μπροστά.
Να βρω το Μετασχηματισμό Fourier του y(t) είναι πολύ εύκολο
αρκεί να ακολουθήσω την ιδιότητα της ολίσθησης στην συχνότητα.
Έτσι,
αρχικά θα βρω τον Μετασχηματισμό Fourier του x(t) και στην συνέχεια
θα το ολισθήσω κατά Ω0, όσο δηλαδή μου λέει το εκθετικό!

Χρονική ολίσθηση

Εάν

τότε

Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα

Θέλω να δω αν το σύστημα που η έξοδος του περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση είναι γραμμικό ή μη:

Γενικά θα είναι γραμμικό αν η απόκριση στο γραμμικό συνδυασμό δύο εισόδων ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων.
Αρχικά:

οπότε η έξοδος σε αυτό το γραμμικό συνδυασμό των δύο εισόδων είναι:

• 

Τώρα θα ελένξω τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων:

• 

επειδή οι δυο αποκρίσεις διαφέρουν το σύστημα είναι μη γραμμικό!

Χρονικά αμετάβλητα και μεταβαλλόμενα συστήματα

Έχω το παρακάτω σήμα:

Θέλω να εξετάσω αν είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.
Αρχικά παίρνουμε την είσοδο και την μετατοπίζουμε π.χ. κατά 3.Άρα:

οπότε η έξοδος γίνεται:

• 

Μετά κοιτάζω και την έξοδο μετατοπισμένη κατά 3.

• 

Αν τα δύο σήματα με την βούλα διαφέρουν(πράγμα που στο παράδειγμά μας αυτό συμβαίνει), τότε το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.