Αντίστροφα συστήματα

Πότε ένα σύστημα δεν είναι αντιστρέψιμο;
όταν διαφορετικοί είσοδοι μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετική έξοδο.

παράδειγμα:
έχω ένα σύστημα y(t)=x(t-2) και θέλω να βρω το αντίστροφό του.Παρατηρώ ότι αυτό που κάνει το σύστημα είναι να ολισθαίνει το σήμα εισόδου κατά 2 μονάδες αριστερά άρα θα πρέπει να βρω ένα σήμα που να το ολισθαίνει κατά 2 μονάδες δεξιά.Το σύστημα που κάνει αυτή την δουλειά είναι το z(t)=x(t+2)

Πρόοδος

• συνέλιξη στον διακριτό χρόνο(ok, αλλά να δω και την άσκηση με το πινακάκι)
• αντίστροφος M.F. με μερικά κλάσματα(ok, αλλά να το ξαναδώ)

1. δεν έβαλε σειρά Fourier
2. δεν έβαλε συνέλιξη σε διακριτό χρόνο

Rational numbers

click

Discrete time convolution

N->Index of the first non-zero value of x[n]
M->Index of the first non-zero value of h[n]

Then write an array

• y[n] = 0 for n < N+M
  

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

noisi.net

Αιτιατό - Μη αιτιατό

• Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό όταν το σήμα εξόδου,y(t), εξαρτάται από τις τιμές του σήματος εισόδου στην παρούσα,t, και προηγούμενες χρονικές στιγμές.
• Αν η έξοδος του συστήματος εξαρτάται και από μελλοντικές τιμές της εισόδου, το σύστημα καλείται μη-αιτιατό.

EXL:

1. y(t)=x(t)x(t-2) Η έξοδος εξαρτάται από την τιμή της εισόδου τώρα x(t) και στο παρελθόν x(t-2) άρα το σύστημα είναι αιτιατό.

ps:αν μας δίνει την κρουστική απόκριση και το σήμα εισόδου και μας ρωτάει αν το σύστημα είναι αιτιατό εμείς θα κοιτάμει πάντα την κρουστική απόκριση(h[n]) διότι όπως γνωρίζουμε ένα σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση.

Memoryless and NOT Memoryless systems

Memoryless system is the system that doesn't require memory

EXL:
y(t) = 5*x(t) MEMORYLESS
y(t)=2*x(t-7) NOT MEMORYLESS
y(t)=6*x(t/8) NOT MEMORYLESS

Find Period Of Two Signals

• If both periods (T1 & T2) are integers find the least common multiple
  EXL:
  T1=4 & T2=6 OVERALL PERIOD=LCM(4,6)=12
• If T1 & T2 are fractions do:
• find the lcm of denominators(lcmd)
• multiply x=lcmd*T1 & y=lcmd*T2
• find the lcm(x,y)
• divide by lcmd

source

ROC

Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace μιας συνάρτησης δεν περιλαμβάνει πόλους.


Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Ζ για αιτιατό σήμα εκτείνεται έξω από έναν κύκλο με κέντρο 0 και ακτίνα r_ στο επίπεδο των z.

Συνάρτηση μεταφοράς και κύκλωμα

Σε ένα σύστημα για να βρούμε την συνάρτηση μεταφοράς, θεωρούμε όλες τις αρχικές συνθήκες μηδέν.

Ευστάθεια στον ΜL

Εάν πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ενός αιτιατού συστήματος βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ή στον φανταστικό άξονα, τότε το σύστημα είναι ασταθές. Εάν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, τότε το σύστημα είναι ευσταθές.


Ορισμός ευστάθειας τύπου ΦΕΦΕ ενός αιτιατού ΓΧΑ συτήματος είναι ότι:
όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του πρέπει να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος.

Τα παραπάνω ισχύουν για αιτιατά σήματα.
Στην περίπτωση που το σύστημα δεν είναι αιτιατό, η συνάρτηση μεταφοράς του μπορεί να έχει πόλους και στο δεξιό ημιεπίπεδο.Η ΠΣ της H(s) θα πρέπει οπωσδήποτε πάλι να περιλαμβάνει τον φανταστικό άξονα.

Ευστάθεια στον ΜΖ

Για να είναι ένα σύστημα ταυτόχρονα ευσταθές και αιτιατό θα πρέπει όλοι οι πόλοι του να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου.

Laplace Domain Circuit

(right/left)-sided sequence

click

Ανάπτυξη σε Απλά Κλάσματα

click

e^(x) and e^(-x)

Μετασχηματισμός Laplace

Έχουμε δυνατότητα μετάβασης από τον Laplace στον Fourier όταν στο πεδίο σύγκλισης περιέχεται ο φανταστικός άξονας